АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ
Арифметика - (греч. arithmetika, от arithmys — число),
наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и
(рациональных) дробях, и действиях над ними. Так что же такое арифметические
софизмы? Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность
или ошибку, не заметную с первого взгляда.
1. « Если А больше В, то А всегда больше, чем 2В»
Возьмем два произвольных положительных числа А и В,
такие, что А>В. Умножив это неравенство на В, получим новое неравенство
АВ>В*В, а отняв от обеих его частей А*А, получим неравенство
АВ-А*А>В*В-А*А, которое равносильно следующему:
А(В-А)>(В+А)(В-А). (1)
После деления обеих частей неравенства (1) на В-А
получим, что
А>В+А (2),
А прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство
А>В, имеем 2А>2В+А, откуда
А>2В.
Итак, если А>В, то А>2В. Это означает, к
примеру, что из неравенства 6>5 следует, что 6>10.
Где же ошибка???
Здесь совершен неравносильный переход от неравенства
(1) к неравенству (2). Действительно, согласно условию А>В, поэтому
В-А<0.Это означает, что обе части неравенства (1) делятся на отрицательное
число. Но согласно правилу преобразования неравенств при делении или умножении
неравен-ства на одно и то же отрицательное число знак неравенства необходимо
изменить на противоположный. С учетом сказанного из неравенства (1) вместо
неравенства (2) получим неравенство А<В+А, прибавив к которому почленно
исходное неравенство В<А, получим просто исходное неравенство А+В<В+2А
2. «Число,
равное другому числу, одновременно и больше, и меньше его».
Возьмем два произвольных положительных равных числа А
и В и напишем и напишем для них следующие очевидные неравенства:
А>-В и В>-В. (1)
Перемножив оба этих неравенства почленно, получим
неравенство А*В>В*В, а после его деления на В, что вполне законно, ведь
В>0, придем к выводу, что
А>В. (2)
Записав же два других столь же бесспорных неравенства
В>-А и А>-А, (3)
Аналогично предыдущему получим, что В*А>А*А, а
разделив на А>0, придем к неравенству
А>В. (4)
Итак, число А, равное числу В, одновременно и больше,
и меньше его.
Где ошибка???