АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ
Алгебра — один из больших разделов математики,
принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой
науки. Задачи, а также методы А., отличающие её от других отраслей математики,
создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд
общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения
однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и
решении уравнений. Т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в
уравнениях и числовых выражениях.
1. «Два неодинаковых натуральных числа равны между
собой»
решим систему двух уравнений:
х+2у=6, (1)
у=4- х/2 (2)
Сделаем это подстановкой у из 2го уравнения в 1,
получаем х+8-х=6, откуда 8=6
Где же ошибка???
Уравнение (2) можно записать как х+2у=8, так что
исходная система за-пишется в виде:
Х+2у=6,
Х+2у=8
В этой системе уравнений коэффициенты при переменных
одинаковы, а правые части не равны между собой, из этого следует, что система
несовместна, т.е. не имеет ни одного решения. Графически это означает, что
прямые у=3-х/2 и у=4-х/2 параллельны и не совпадают. Перед тем, Как решать
систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли система
единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений вообще.
2. «Отрицательное число больше положительного».
Возьмем два положительных числа а и с. Сравним два
отношения:
а/-c и -а/c
Они равны, так как каждое из них равно –(а/с). Можно
составить пропорцию: a/-c=-a/c
Но если в пропорции предыдущий член первого
отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также
больше своего последующего. В нашем случае а>-с, следовательно, должно быть
–а>с, т.е. отрицательное число больше положительного.
Где ошибка???
Данное свойство пропорции может оказаться неверным,
если не-которые члены пропорции отрицательны.
3) Дважды два -
пять!
Сейчас мы вместе
с вами докажем, что дважды два равно пяти. Это можно сделать буквально на
пальцах:
Имеем равенство:
16 - 36 = 25 -
45 (1)
Прибавим к левой
и правой части 81/4:
16 - 36 + 81/4 =
25 - 45 + 81/4 (2)
Преобразуем
выражение:
4*4 - 2*4*9/2 +
(9/2)*(9/2) = 5*5 - 2*5*9/2 + (9/2)*(9/2)
(3)
Теперь можно
заметить, что в левой и правой части выражения (3) записаны произведения вида:
a2-2ab+b2,
то есть, квадрат разности: (a-b)2. В нашем случае слева a=4, b=9/2,
а справа a=5, b=9/2. Поэтому перепишем выражение (3) в виде квадратов разности:
(4 - 9/2)2
= (5 - 9/2)2 (4)
А следовательно,
4 - 9/2 = 5 -
9/2 (5)
И наконец,
получаем долго
жданное
равенство:
4 = 5
или, если
угодно,
2*2 = 5
Попробуйте
объяснить, как это возможно, что дважды два равно пяти?
Ответ:
В преобразования, разумеется, закралась ошибка. А именно, при переходе из (4) в (5) совсем забыли, что равенство квадратов вовсе не означает равенство значений, возведенных в квадрат: они могут быть противоположны друг другу, как в нашем случае: 4-9/2 равно -1/2, а 5-9/2 равно 1/2. А квадраты этих значений одинаковы.
